Фракталы известны уже век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.
Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. В этом они похожи на одни из самых красивых математических объектов — фракталы.
Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).
Какие бывают фракталы?
Если посмотреть на множество фракталов, в них можно увидеть множество отличий. Эти отличия наблюдаются не только в форме фигур, из которых состоят фракталы, но и в самой форме представления этих множеств. Таким образом, различают геометрические, алгебраические и стохастические фракталы. Расскажем о каждом из них чуть подробнее.
Геометрические фракталы
Это самый привычный нам вид фракталов. Они строятся на основе какой-либо геометрической фигуры путем дробления ее частей и их преобразования. Среди примеров можно назвать L-системы. Изначально они были спроектированы для моделирования биологических клеточных систем, но с таким же успехом могут быть применены и к другим ветвящимся системам.
Дерево Пифагора — один из самых простых примеров геометрических фракталов
Алгебраические фракталы
Алгебраические фракталы строятся на основе математических формул — их можно превратить в геометрические, если построить графики на координатной плоскости. Среди алгебраических фракталов можно выделить фракталы Мандельброта, Жюлиа и бассейны Ньютона. Все они строятся на множестве комплексных чисел, которые состоят из действительной и мнимой части. Просто фракталы Мандельброта и Жюлиа строятся на основе квадратов комплексных чисел, а бассейны Ньютона — на основе их кубов.
Так выглядят бассейны Ньютона — фракталы, построенные на множестве кубов комплексных чисел
Стохастические фракталы
Этот вид фракталов строится на основе математических формул, но в процессе построения параметры в них случайным образом изменяются. Это приводит к появлению причудливых форм, очень похожих на природные. В отличие от геометрических и некоторых алгебраических, стохастические фракталы можно построить лишь при помощи компьютера.
Иллюстрация стохастических фракталов. Как видно, они могут быть несимметричными и очень причудливыми
Геометрия и алгебра
Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».
Что такое фрактал?
У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим терм"