В стране, где человеческий рост измеряют в футах, расстояние до соседнего города считают в милях, а топливо в бак льют галлонами, чиновники выписывают справки на бумаге формата Letter. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм. Если бы не эта разница, возможно, мы бы до сих пор не знали о флексагонах – увлекательной игрушке, головоломке и интересной математической модели, открытой в первой половине XX века.
В конце 1930-х годов англичанин Артур Стоун, двадцатитрехлетний аспирант-математик, только начинал свою блистательную карьеру в Принстонском университете, штат Нью-Джерси. Среди прочих американских «странностей», к которым ему еще предстояло привыкнуть, был и необычный стандарт Letter. Как-то раз, обрезая листы А4 под новый формат, он принялся машинально складывать из обрезков разные фигуры. Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил равносторонний шестиугольник — оставалось только обрезать концы по форме последней грани. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру, можно было раскрыть его, подобно бутону цветка. После каждого очередного раскрытия на свет появлялась новая поверхность, состоящая из шести треугольников, а предыдущие шесть треугольников скрывались внутри конструкции. Можно было покрасить каждую поверхность определенной краской, и тогда с каждым переворотом фигура принимала один из трех цветов.
Стоуну сразу же пришла в голову мысль, что можно сложить и более сложный шестиугольник, внутри которого прячется большее количество скрытых поверхностей. Он переспал ночь с этой идеей и убедился в правильности своей догадки, построив фигуру с шестью чередующимися поверхностями. Почувствовав, что за загадочным шестиугольником скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайант Таккерман и Джон Тьюки, которому некоторые источники приписывают авторство слова «бит» (binary digit). Будущие светила науки собирались вместе в студенческой столовой и демонстрировали друг другу новые головоломки, которые им удавалось собрать.
1. Чтобы раскрыть флексагон, сожмите два соседних треугольника, прижмите к ним противоположный край и раскройте фигуру из центра. 2. Чтобы пройти по «пути Таккермана», раскрывайте фигуру, держась за один угол, пока она будет раскрываться. Затем последовательно переходите к следующему углу.
Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского flex — сгибать). Шестиугольные флексагоны получили название гексафлексагонов. Еще одна численная приставка означала порядок флексагона, то есть число чередующихся поверхностей. В частности, первая созданная Артуром фигура оказалась тригексафлексагоном, а конструкция с шестью поверхностями — гексагексафлексагоном. Стоун, Таккерман, Фейнман и Тьюки в шутку окрестили себя «Флексагонным комитетом» и всерьез взялись за изучение математических основ «флексологии». К 1940 году Фейнманом и Тьюки была разработана всеобъемлющая теория флексагонов, которая позволяла построить флексагон с любым числом сторон и поверхностей всеми возможными способами. Полностью сей труд так и не был опубликован, хотя отдельные его положения впоследствии были открыты другими учеными.
Тритетрафлексагон
Самый первый флексагон с тремя поверхностями, изобретенный Артуром Стоуном, складывается из прямой полоски бумаги, поделенной на 10 равносторонних треугольников (один служит для склейки).
Строптивый калейдоскоп
Классический гексагексафлексагон можно сложить из прямой полоски бумаги. Полосу следует разметить на 19 равносторонних треугольников. Треугольники можно пометить цифрами с двух сторон в порядке, указанном на рисунке. Пустой треугольник на каждой стороне служит для склейки. Полоска складывается таким образом, чтобы треугольники с одинаковыми цифрами на оборотной стороне накладывались друг на друга. Получившуюся короткую полоску перегибают в трех местах так, чтобы получился шестиугольник (точно так же складывают из ленты простейший тригексафлексагон). Оставшийся не у дел треугольник, помеченный цифрой 1, перегибается через грань и приклеивается к пустому треугольнику. Флексагон готов.
Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольников. Чтобы раскрыть флексагон, необходимо взять его двумя пальцами за пару соседних треугольников и сложить их по линии сгиба. Второй рукой нужно отогнуть противоположную пару треугольников. Флексагон явит миру свою новую поверхность и спрячет предыдущую. Играя с фигурой, вы вскоре обнаружите, что некоторые поверхности гораздо труднее вызволить на свободу, нежели остальные. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу, натыкаясь лишь на знакомую пару «лиц» флексагона. Брайант Таккерман вывел простейший способ нахождения всех поверхностей фигуры, известный как «путь Таккермана». Простое правило позволяет увидеть все поверхности гексагексафлексагона всего за 12 раскрытий. Следует брать флексагон за один и тот же угол и открывать его, пока он открывается. Затем можно переходить к следующему углу по порядку.
Тетрафлексагон
Стоуну и компании удалось создать полную и всеобъемлющую теорию гексафлексагонов. Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось. Простейший представитель этого семейства – тритетрафлексагон – можно легко сложить из полосы бумаги, состоящей из шести квадратов. Достаточно сложить ее в трех местах, как показано на рисунке, склеить пару «двоек» - и флексагон готов. Кстати, изобретение этой фигуры принадлежит вовсе не Стоуну. Оно уже несколько столетий известно как шарнирное соединение двойного действия – петля, которая позволяет открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах). Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из его поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других. На этом свойстве основан старый фокус с «исчезающим» в недрах конструкции долларом. Рецепт тетрафлексагона: Темный цвет обозначает лицевую сторону выкройки, светлый – обратную. Крайние квадраты склеиваются полоской скотча.
Многообразие проявлений гексагексафлексагона вовсе не ограничивается шестью цветами или шестью цифрами, обозначающими поверхности. Если нанести на треугольники более замысловатую раскраску, можно увидеть, что каждый из них может менять ориентацию внутри своей поверхности. Пометим углы каждого треугольника буквами A, B и C и проследуем по «пути Таккермана». Мы увидим, как в центре одного и того же шестиугольника по очереди побывает каждая из букв. Это дает нам по три варианта каждой поверхности. Итого для гексагексафлексагона мы имеем целых 18 вариантов рисунка поверхности.